O método axiomático

A. César de Freitas

Vamos procurar dar uma ideia do que é o método axiomático, ou método axiomático-dedutivo, em matemática. Este método, pode dizer-se, foi introduzido pelos geómetras gregos há 2.500 anos e está na base de todos os desenvolvimentos recentes da matemática e, indirectamente, do desenvolvimento de outras ciências.

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Para estudar e desenvolver qualquer ciência é, obviamente, fundamental conhecer o método usado na construção dessa ciência, e isto é particularmente relevante em matemática, pois sem tal conhecimento não é possível compreender a natureza deste sector científico.

Para obter o mais alto grau possível de clareza e certeza em matemática, um processo ideal seria aquele que permitisse explicar o significado de qualquer expressão que ocorresse e justificar qualquer das suas afirmações. É fácil verificar que este ideal nunca pode ser atingido. De facto, ao explicar o significado de qualquer expressão, há que usar necessariamente outras expressões, e para explicar, por sua vez, o significado destas expressões usam-se novamente outras expressões, e assim sucessivamente. Desenvolve-se, por esta forma, um processo que não tem fim. De modo análogo, no que se refere à obtenção de resultados, para estabelecer a veracidade de determinada proposição há que recorrer a outras proposições, que terão de ser validadas ainda por outras, e assim sucessivamente, o que origina também um processo infinito.

Perante a impossibilidade de atingir o ideal referido, assume-se o compromisso seguinte: para construir uma certa disciplina – aqui disciplina significa sector da matemática – começa-se por separar um reduzido número de expressões cujo significado se considera imediatamente conhecido e que são usadas sem explicar o seu significado – são os chamados termos primitivos, ou termos não definidos; ao mesmo tempo convenciona-se não empregar qualquer outra expressão da disciplina sem primeiro definir o seu significo a partir dos termos primitivos e de expressões a que já tenha sido dado significado – a proposição que, por esta forma, determina o significado de uma expressão diz-se uma definição. Procede-se de modo análogo com os resultados – proposições verdadeiras – da disciplina: alguns deles – os resultados primitivos, ou axiomas – consideram-se válidos (isto é, aceita-se a sua veracidade) e considera-se qualquer outro resultado como verdadeiro se for possível estabelecer a sua veracidade a partir dos axiomas, das definições e de outros resultados já estabelecidos; os resultados que assim se vão obtendo são os teoremas. Para estabelecer os teoremas a partir dos axiomas usam-se certas regras de inferência que constituem o que pode chamar-se a lógica matemática. Obter um resultado pelo processo anterior diz-se fazer a demonstração desse resultado.

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Fonte: Freitas, A. C. 1988. O método axiomático em matemática. In: Leite, M. C. et al. Pensar a ciência. Lisboa, Gradiva.