07 abril 2020

O mundo novo que estamos a fazer


Paul Nash (1889-1946). We are making a new world. 1918.

Fonte da foto: Wikipedia.

04 abril 2020

Fórmula de Bayes

Sheldon Ross

Suponha os eventos E e F. Podemos expressar E como

E = EF ∪ EFC

pois, para que um resultado esteja em E, ele deve estar em E e F ou em E, mas não em F [...]. Como é claro que EF e EFC são mutuamente exclusivos, temos, pelo Axioma 3,

P(E) = P(EF) + P(EFC)
P(F)P(F) + P(FC)P(FC)
P(F)P(F) + P(FC)[1 – P(F)]

A equação [acima] diz que a probabilidade do evento E é uma média ponderada da probabilidade condicional E dado que F ocorreu e da probabilidade condicional de E dado que F não ocorreu – com cada probabilidade condicional recebendo um maior peso quanto mais provável for a ocorrência do evento ao qual está relacionada. Esta fórmula é extremamente útil porque seu uso muitas vezes nos permite determinar a probabilidade de um evento com base na condição de ocorrência ou não de um segundo evento. Isto é, há muitos casos nos quais é difícil calcular diretamente a probabilidade de um evento, mas esse cálculo se torna simples se conhecermos a probabilidade de ocorrência ou não de um segundo evento.

Fonte: Ross, S. 2010. Probabilidade: Um curso moderno com aplicações, 8ª ed. Porto Alegre, Bookman.

02 abril 2020

Evidências iniciais de que a pandemia está arrefecendo



As estatísticas mundiais a respeito da pandemia da Covid-19 (provocada pelo SARS-CoV-2) não são todas igualmente confiáveis. Alguns governos são displicentes ou estão deliberadamente omitindo ou manipulando os números. É uma situação preocupante e que pode ter consequências desastrosas, tanto em termos científicos como em termos de saúde pública. Vale lembrar que modelos construídos com base em dados distorcidos costumam gerar previsões equivocadas. E tais equívocos podem resultar em riscos desnecessários à saúde e ao bem-estar da população.

Tenho acompanhado as estatísticas mundiais a respeito da Covid-19 por meio de um painel da Universidade Johns Hopkins [1]. Mais recentemente, passei a cotejar os números ali presentes com os dados divulgados pelo sítio Worldometer [2]. Há uma pequena defasagem (cronológica, talvez) entre os dois. De resto, eu não notei qualquer distorção sistemática nas estatísticas.

Analisei separadamente os dados encontrados nos dois painéis, ainda que os resultados aqui reportados se refiram tão somente aos números obtidos no painel do Worldometer. Caso eu tivesse me apoiado nos dados da UJH, as conclusões seriam essencialmente as mesmas.

SARS-CoV-2.

O novo coronavírus (SARS-CoV-2) que emergiu em Wuhan, no fim de 2019, rapidamente se espalhou por todas as províncias chinesas. O número de infectados em todo o mundo vem escalando desde o início de 2020. E o problema logo adquiriu contornos mundiais. Em 1/3, tínhamos 6.567 casos fora da China, em 58 países de diferentes continentes. Em 11/3, a OMS classificou a Covid-19 – até então uma emergência mundial – como uma pandemia.

Embora a disseminação do SARS-Cov-2 seja hoje uma preocupação planetária, há uma nítida concentração nas estatísticas, tanto no número de casos como no número de mortes. Os 20 países mais afetados concentram 91% dos casos (de um total de 859.796) e 96% das mortes (de um total de 42.345) [3]. A taxa de letalidade nesses países está em torno de 5,2% [4].

Para investigar o avanço da Covid-19, eu calculei uma taxa de crescimento diário no número de indivíduos infectados ao longo do mês de março. Essa taxa (representada aqui pela letra grega minúscula beta) foi definida como β = ln [Y(t+1)/Y(t)], onde Y(t+1) é o número de indivíduos infectados no dia (t+1), Y(t) é o número de infectados no dia anterior e ln indica logaritmo natural (base e).

*

[FIGURA. A figura que companha este artigo documenta a variação na taxa de crescimento diário (eixo vertical, em %) no número de infectados na população mundial ao longo do mês de março. Três agregados de pontos estão indicados (A-C) e um quarto parece estar em formação (D). A linha unindo os pontos é a média móvel.]

*

Quando os valores de β são colocados em um gráfico (ver a figura que acompanha este artigo), três agregados de pontos podem ser identificados [5]:

(1) Entre 1 e 10/3, intervalo durante o qual a taxa de crescimento variou entre β = 0,0208 (dia 2) e β = 0,03915 (dia 10);

(2) Entre 11 e 17/3, quando a taxa variou entre β = 0,0592 (dia 11) e β = 0,0828 (dia 17); e

(3) Entre 18 e 28/3, quando a taxa variou entre β = 0,0988 (dia 18) e β = 0,1214 (dia 26).

A julgar pelos resultados, a curva que a pandemia está a descrever (número de infectados v. tempo) teria passado pelo seu ponto de inflexão por volta do dia 26, quando a taxa de crescimento ‘bateu no teto’ – i.e., atingiu seu valor máximo e iniciou uma trajetória declinante. A partir de 28/3, a distribuição dos pontos prosseguiu em um patamar visivelmente inferior, sugerindo a formação de um quarto agregado. As estatísticas dos próximos dias nos dirão se tal prognóstico é acertado ou não.

Comentários adicionais & sugestões.

A extensão dos agregados e as distâncias entre eles já podem ser um reflexo das medidas tomadas mundo afora. Já começaram a surgir evidências de que ‘tirar o plugue da tomada’, diminuindo o contato social entre os indivíduos, foi uma decisão das mais acertadas.

Admitindo que os resultados apresentados aqui ofereçam um quadro realista do que se passou com a Covid-19 ao longo do mês de março, é bem provável que a queda (pós-26/3) na taxa de crescimento (β) esteja a sinalizar que as medidas de distanciamento social vêm surtindo efeito. E esses resultados também sustentam a afirmação de que as medidas devem ser mantidas (em múltiplas escalas: local, regional, nacional etc.), ao menos por mais uma ou duas semanas. Suspendê-las de maneira atabalhoada ou precipitada pode por tudo a perder, fazendo com que tenhamos pela frente uma nova escalada no número de casos e, por extensão, no número de mortes.

*

Notas.

[*] Para detalhes e informações sobre o livro mais recente do autor, O que é darwinismo (2019), inclusive sobre o modo de aquisição por via postal, faça contato pelo endereço meiterer@hotmail.com. Para conhecer outros livros e artigos, ver aqui.

[1] Painel ‘Mapping 2019-nCov’ (Johns Hopkins University, EUA).

[2] Painel ‘Worldometer: Coronavirus’ (Dadax, EUA).

[3] Números relativos a 31/3. Naquele dia, os 20 países com mais casos registrados eram EUA, Itália, Espanha, China, Alemanha, França, Irã, Reino Unido, Suíça, Turquia, Bélgica, Países Baixos, Áustria, Coreia do Sul, Canadá, Portugal, Brasil, Israel, Noruega e Austrália. Em 1/1, a Suécia tomou o lugar da Noruega, afastando a Austrália das 20 primeiras posições.

[4] Itália (11,4%) e Espanha (8,8%) empurram a média para cima. Israel, Austrália e Noruega (todos com menos de 1%) puxam a média para baixo. A julgar pelos números divulgados, 172 mil indivíduos já receberam alta, o que corresponde a 22% dos infectados. China (93%), Coreia do Sul (56%) e Irá (33%) lideram os percentuais de recuperação.

[5] Se a pandemia seguisse a taxa mais alta (β = 0,1214), o número de infectados dobraria a cada 5,7 dias; seguindo a taxa mais baixa (β = 0,0208), o número de infectados dobraria a cada 33,3 dias.

***

31 março 2020

Balanço momentâneo (30-31/3)


As estatísticas de vários países (Brasil incluído) a respeito da pandemia da Covid-19 (provocada pelo vírus SARS-CoV-2) são inconfiáveis [1]. Em termos científicos e, sobretudo, em termos de saúde pública, é uma situação constrangedora e muito lamentável. (E que pode ter consequências desastrosas.)

Dito isto, vejamos.

De ontem para hoje (30-31/3), um brevíssimo resumo das estatísticas mundiais seria o seguinte [2]:

(A) Os 20 países mais afetados (Brasil incluído) [3] concentram 91% dos casos (de um total de 786.228) e 96% das mortes (de um total de 37.820) [4]. Os números continuam a escalar rapidamente, ainda que em alguns países as taxas já sejam decrescentes [5]. Em escala global, isso indica que estamos longe do topo da curva que a pandemia está a descrever. (Ou que talvez sequer tenhamos ultrapassado o ponto de inflexão da curva.)

(B) Nesses 20 países, a taxa média de mortalidade está em torno 5% – i.e., em média, de cada grupo de 20 indivíduos infectados, um deles vai a óbito. Itália (11,4%) e Espanha (8,8%) puxam a média para cima. Israel, Austrália, Noruega e Alemanha (todos com menos de 1%) puxam a média para baixo.

(C) Nesses 20 países, a julgar pelos números divulgados, quase 161 mil indivíduos já teriam recebido alta, o que corresponderia a pouco mais de 22% dos infectados. China (93%), Coreia do Sul (55%) e Irá (34%) lideram as estatísticas da recuperação.

Distanciamento social

O que se passa hoje em muitos países do mundo não é nenhuma fatalidade. Nem é castigo divino. É fruto de decisões políticas equivocadas tomadas em passado recente.

Veja o caso da Itália. Na segunda quinzena de fevereiro, tendo então contabilizado 17 mortos (de um total de pouco mais de 600 infectados), o governo italiano resolver suspender as medidas de isolamento social. O motivo alegado era proteger a frágil economia do país. Em maior ou menor grau, outros países que hoje lideram as estatísticas cometeram erros semelhantes.

Diante da escalada dos números e de tudo o que estamos a aprender rapidamente a respeito do novo coronavírus (em termos ecológicos, fisiológicos etc.), muitos governantes já se dobraram às evidências: adotar o distanciamento social é uma medida eficaz de combate à pandemia. Pode parecer uma medida exagerada ou extrema, mas é uma medida absolutamente necessária, ao menos por enquanto.

*

Notas

[*] Para detalhes e informações sobre o livro mais recente do autor, O que é darwinismo (2019), inclusive sobre o modo de aquisição por via postal, faça contato pelo endereço meiterer@hotmail.com. Para conhecer outros livros e artigos, ver aqui.

[1] Os colegas epidemiologistas que trabalham para o governo federal que me perdoem, mas desde o discurso do presidente da República em cadeia de rádio e TV (24/3), sou de opinião que um véu opaco passou a envolver o ministério da Saúde. Além disso, ao que parece, há muita improvisação ou mesmo carência de pessoal técnico mais bem preparado. Veja, por exemplo, o relatório a respeito da pandemia que a Abin teria entregue ao presidente. (Estou a me referir ao material que foi disponibilizado na matéria ‘Abin fala em 5,5 mil mortes em 15 dias enquanto Bolsonaro chama coronavírus de histeria’, publicada pelo The Intercept Brasil, em 24/3 – aqui. Uma bricolagem. E que me fez pensar em certas apostilas escritas por jovens professores universitários.) O fato é que os números divulgados pelos governantes (sobretudo na esfera federal) devem ser vistos com desconfiança. E os jornalistas, sempre que possível, deveriam consultar fontes complementares. De resto, ainda há muita informação desencontrada – e.g., ver a matéria ‘Na Europa, critério para calcular mortes por Covid-19 varia conforme país (e nenhum está certo)’, publicada pelo El País, em 30/3 (aqui).

[2] Fonte dos dados: painel Mapping 2019-nCov, da Universidade Johns Hopkins (EUA).

[3] Em número de casos, os 20 países são Estados Unidos, Itália, Espanha, China, Alemanha, França, Irã, Reino Unido, Suíça, Países Baixos, Bélgica, Turquia, Coreia do Sul, Áustria, Canadá, Portugal, Israel, Brasil, Austrália e Noruega.

[4] Os números de hoje (31) à tarde indicam que já ultrapassamos os 826 mil casos e as 40 mil mortes, mas a computação que estou a fazer toma os dados divulgados durante a noite (horário de Brasília).

[5] Sobre padrões de crescimento numérico, ver as duas primeiras partes do artigo ‘Corpos, gentes, epidemias e... dívidas’ (abaixo ou então aqui e aqui).

***

29 março 2020

Corpos, gentes, epidemias e... dívidas. (Parte II)



3. Progressões.

O ensino de matemática no ensino médio envolve o estudo de dois tipos especiais de sequências numéricas, as progressões aritméticas e as p. geométricas.

Já era assim na minha época e, até onde sei, é assim ainda hoje [1].

3.1. Progressões aritméticas.

Progressões aritméticas [2] são sequências nas quais o aumento de cada termo para o seguinte é sempre o mesmo. Esse aumento é chamado de razão da progressão (representada pela letra r) [3].

As sequências (1, 5, 9, 13, ...) e (1, – 3, – 7, – 11, ...) são exemplos de progressões aritméticas cujas razões são 4 e – 4, respectivamente. 

Em uma progressão aritmética (a1a2a3a4, ...), para avançar um termo, basta somar a razão (ak + 1 = ak + r); para avançar dois termos, basta somar a razão duas vezes (ak + 2 = ak + 2r); para avançar três termos, basta somar a razão três vezes (ak + 3 = ak + 3r); e assim por diante.

O termo geral de uma progressão aritmética é dado pela fórmula

an = a0 + nr,

onde an representa o termo de ordem na0 é o termo inicial; n é o número de posições que separam a0 de an; e r é a razão.

Vejamos um exemplo.

Uma cidade tem 12.500 habitantes e está a ganhar 250 novos habitantes a cada ano. Qual será o tamanho da população daqui a 4 anos?

O tamanho da cidade daqui a n anos é an. Temos a0 = 12.500 e queremos achar a4. Como o número de habitantes que a cidade ganha a cada ano é constante, estamos diante de uma progressão aritmética. A razão dessa progressão é r = 250. Façamos as contas: a4 = a0 + 4r = 12.500 + 1.000. Resposta: a cidade terá 13.500 habitantes daqui a 4 anos.

Um segundo exemplo. Em 10 anos, a população de uma cidade passou de 5.000 para 8.000 habitantes. Admitindo que o crescimento anual tenha sido em progressão aritmética, calcule o número de habitantes que a cidade ganhou a cada ano.

Temos a0n e an. Admite-se que o número de habitantes que a cidade ganhou a cada foi constante. Trata-se de uma progressão aritmética cuja razão r nós devemos descobrir. Da fórmula geral, obtemos: r = (a10 – a0) / n = (8.000 – 5.000) / 10. Resposta: a cidade ganhou 300 habitantes a cada ano.

3.2. Progressões geométricas.

Progressões geométricas são sequências nas quais a taxa de crescimento i de cada termo para o seguinte é sempre a mesma. Cada termo é igual ao anterior multiplicado por (1 + i). Este fator de multiplicação é chamado de razão da progressão (representada pela letra q).

As sequências (1, 2, 4, 8...) e (1, ½, ¼, 1/8...) são exemplos de progressões geométricas cujas razões são 2 e ½, respectivamente. 

Em uma progressão geométrica (a1a2a3a4...), para avançar um termo, basta multiplicar pela razão (ak + 1 = akq); para avançar dois termos, basta multiplicar pela razão duas vezes (ak + 2 = ak x q x q = akq2); para avançar três termos, basta multiplicar pela razão três vezes (ak + 3 = ak x q x q x q = akq3); e assim por diante.

O termo geral de uma progressão geométrica é dado pela fórmula

an = a0qn,

onde an representa o termo de ordem na0 é o termo inicial; n é o número de posições que separam a0 de an; e q é a razão.

Exemplo. Criado em cativeiro, um filhote de elefante passou de 500 kg para 800 kg em 6 meses. Qual foi o crescimento médio mensal? Vejamos.

Temos a0 = 500 kg, n = 6 e a6 = 800 kg, e queremos achar a razão q. Achando a razão, descobrimos a taxa de crescimento i, visto que i = q – 1. Há dois motivos para tratarmos a questão como um caso de progressão geométrica: (1) O crescimento do corpo é um processo essencialmente multiplicativo, não aditivo [4]; e (2) Como a questão fala em taxa média, nós podemos admitir que a razão q permaneceu constante no intervalo em questão. Façamos as contas. Da fórmula geral, obtemos: q = (a6 / a0)1/6 = (800 / 500)1/6 = (1,6)1/6. Usando uma calculadora, descobrimos que q = 1,081484. Resposta: a taxa de crescimento mensal (i = q – 1) foi equivalente a uns 8,15%.

Comentário adicional. Note a diferença entre crescimento aditivo e c. multiplicativo. No exemplo acima, o filhote de elefante ganhou 300 kg em 6 meses. Se o ganho tivesse ocorrido em progressão aritmética, a sequência seria (500, 550, 600, 650, 700, 750, 800). Em progressão geométrica, no entanto, a sequência foi (500, 541, 585, 632, 684, 740, 800) [5]. No primeiro caso, estamos somando uma mesma quantidade; no segundo, estamos multiplicando por uma mesma taxa.

*

[FIGURA. A figura que acompanha este artigo ilustra o crescimento populacional de três cidades ao longo de 12 anos. No início, as três têm exatamente a mesma população, N(0) = 50. Mas seguem trajetórias distintas, visto que a cidade A (quadrado vazio) cresce em progressão aritmética, enquanto B (triângulo cheio) e C (triângulo vazio) crescem em progressão geométrica, a taxas anuais de 30 e 50%, respectivamente. (Eixo horizontal: tempo, em anos; eixo vertical, tamanho da população.)]

*

4. Crescimento numérico de populações.

Populações biológicas são agrupamentos de indivíduos coespecíficos que vivem em um mesmo hábitat, ao menos temporariamente.

É pretensão da ecologia não só descrever os padrões numéricos encontrados na natureza (e.g., por que algumas espécies são numerosas, enquanto outras são raras?), mas também explicar os seus atributos dinâmicos (e.g., por que certas populações oscilam tanto de tamanho ao longo do ano, enquanto o de outras permanece mais ou menos inalterado?).

4.1. BIDE: Um ponto de partida.

O tamanho de uma população (representado por N) corresponde ao número total de indivíduos (imaturos, adultos etc.) presentes em um dado instante [6].

Trata-se de uma grandeza dinâmica, sujeita a altos e baixos. Assim é que o valor de N em um dado instante é um balanço momentâneo entre ganhos (nascimentos e imigrações) e perdas (mortes e emigrações) de indivíduos. Quando os ganhos superam as perdas, a população cresce; quando as perdas são maiores, a população diminui. Quando ganhos e perdas se equivalem, a população permanece estacionária.

Podemos expressar o que foi dito da seguinte maneira:

N(t + 1) = N(t) + B + I – (D + E),   (eq. 4.1)

onde N(t + 1) representa o tamanho da população no momento (t + 1); N(t) é o tamanho da população no momento anterior (t); B é o número de nascimentos; I é o número de imigrantes (coespecíficos que, vindos de fora, passam a integrar a população em foco); D é o número de mortes; e o E indica o número de emigrantes (indivíduos que abandonam a população em foco).

A série (t), (t + 1), (t + 2), (t + 3), (t + 4) etc. pode ser vista como uma sucessão de momentos de amostragem ao longo do tempo. O intervalo entre eles é mantido constante, mas pode ser medido em diferentes escalas (dias, meses, anos etc.), a depender do interesse do pesquisador. Adotando uma escala mensal, por exemplo, N(0) seria o tamanho inicial da população (t = 0); N(1), o tamanho após um mês; N(2), o tamanho após dois meses; e assim por diante.

Em muitos casos, o tamanho da população só é afetado por B e D, visto que I e E são nulos ou quase nulos. Em tais circunstâncias, a população é dita fechada e, para ela, a eq. (4.1) se reduz a

N(t + 1) = N(t) + B – D.   (eq. 4.2)

4.2. Taxa de crescimento per capita.

Para capturar e expressar de modo apropriado as flutuações populacionais, as variáveis B e D devem ser decompostas, revelando o que pode estar embutido em cada uma delas. Vejamos.

O número de nascimentos (B), por exemplo, pode ser visto como o resultado da multiplicação bN(t), onde b é a taxa de natalidade per capita (i.e., número de nascimentos por indivíduo vivo presente na população) e N(t) é o tamanho da população no instante (t).

O mesmo raciocínio se aplica ao número de mortes, D. A multiplicação neste caso seria dN(t), onde d é a taxa de mortalidade per capita (i.e., número de mortes por indivíduo vivo presente na população).

Substituindo estas duas igualdades na equação 4.2, fazemos

N(t + 1) = N(t) + bN(t) – dN(t) = (1 + b – d)N(t),

substituindo (b – d) por λ (letra grega minúscula lambda), obtemos

N(t + 1) = (1 + λ)N(t),   (eq. 4.3)

onde λ seria a taxa de crescimento per capita [7].

Uma versão generalizada da eq. (4.3) seria a seguinte [8]

N(t) = N(0)(1 + λ)t,   (eq. 4.4)

onde N(t) representa o tamanho da população em um momento qualquer (t); N(0) é o tamanho inicial (t = 0); t é o intervalo de tempo transcorrido desde t = 0; e λ é a taxa de crescimento.

Admitindo que o fator de crescimento (1 + λ) seja mantido constante, ao menos durante um intervalo suficientemente longo, não é difícil perceber que há um paralelo entre a equação (4.4) e o termo geral das progressões geométricas, an = a0qn – lembrando que q = (1 + i).

4.3. Calculando o tempo de duplicação.

Exemplo. Uma aldeia tem 100 habitantes. Quantos serão daqui a cinco anos, caso a população da aldeia cresça a uma taxa anual de 5%?

Temos N(0), λ e t. Nosso problema é descobrir N(t), quando t = 5. Façamos as contas. Substituindo os valores que temos na equação geral, descobrimos que N(5) = N(0)(1 + λ)5 = 100 x (1 + 0,05)5 = 100 x 1,2763 = 127,63. Resposta: daqui a cinco anos, a aldeia terá aproximadamente 128 habitantes.

Um segundo exemplo. A população de um país está a crescer a uma taxa anual de 5%. Admitindo que esta taxa permaneça constante, quantos anos serão necessários para a população dobrar de tamanho?

Ao que parece, temos apenas λ. Mas o nosso problema é descobrir t, de tal modo que N(t) = 2N(0). Pois bem, substituindo o que temos na equação geral, vemos que 2N(0) = N(0)(1 + 0,05)t. Simplificando, obtemos (1 + 0,05)t = 2. Para ‘descer’ o expoente (nossa incógnita), aplicamos logaritmo nos dois lados da equação, e chegamos a t x ln 1,05 = ln 2, de onde fazemos t = ln 2 / ln 1,05 = 0,69315 / 0,04879 ≈ 14,2. Reposta: A população da cidade levaria pouco mais de 14 anos para dobrar de tamanho.

Por fim, ainda em relação à questão anterior: E se a taxa de crescimento fosse de 1% ao ano, quantos anos seriam necessários para a população dobrar de tamanho?

O procedimento é o mesmo. Podemos então abreviar caminho, indo direto para a última etapa. Temos (1 + 0,01)t = 2. Aplicando logaritmo, chegamos a t = ln 2 / ln 1,01 = 0,69315 / 0,00995 ≈ 69,66. Resposta: O tempo de duplicação agora seria de quase 70 anos.

Notas

[*] Para detalhes e informações sobre o livro mais recente do autor, O que é darwinismo (2019), inclusive sobre o modo de aquisição por via postal, faça contato pelo endereço meiterer@hotmail.com. Para conhecer outros livros e artigos, ver aqui.

[1] Para um panorama geral, ver Lima, EL & mais 3. 2006. A matemática do ensino médio, vol. 2, 6ª ed. RJ, Sociedade Brasileira de Matemática. O volume serviu de fonte e inspiração para a elaboração do item 3 (Progressões).

[2] Uma lembrança particularmente valiosa que tenho dos meus anos de ensino médio – e já lá se vão algumas décadas – é a do meu primeiro contato com a noção matemática de limite. Foi em uma aula sobre a soma dos termos de progressões (decrescentes) infinitas. Para mim, foi desconcertante. Fiquei muito intrigado com a possibilidade de se obter um resultado e enchi o professor com perguntas.

[3] Estou a me referir aqui às chamadas progressões aritméticas de primeira ordem.

[4] Ver a Parte I desta série de artigos (está aqui).

[5] Valores arredondados para o inteiro mais próximo.

[6] Há outros conceitos. Por exemplo, o de tamanho populacional efetivo (Ne). Este último costuma ser definido como o número de indivíduos que, em condições ideais, teria o seu fundo gênico exposto aos mesmos riscos de mudança aleatória (deriva) que uma população real. O conceito parte do princípio de que a estrutura reprodutiva de populações naturais nem sempre se ajusta com facilidade aos pressupostos dos modelos teóricos. Diversos fatores podem levar a desajustes, incluindo flutuações bruscas no tamanho da população, razão sexual aberrante e variações na estrutura demográfica. O valor de Ne em geral é inferior ao número de indivíduos presentes na população (N), ainda que a magnitude da diferença varie de acordo com as circunstâncias. Por exemplo, Ne é menor (ou bem menor) que N quando o número de machos e fêmeas é muito desigual. Para detalhes e referências, ver Costa, FAPL. 2017. O evolucionista voador & outros inventores da biologia moderna. Viçosa, Edição do autor.

[7] Quando a diferença entre os tamanhos populacionais é muito grande, λ é aproximadamente igual à razão entre N(t + 1) e N(t).

[8] Quanto t = 1, temos N(1) = N(0)(1 + λ). Prosseguindo, teríamos N(2) = N(1)(1 + λ); N(3) = N(2)(1 + λ); N(4) = N(3)(1 + λ); e assim por diante. Cada uma destas equações pode ser reescrita em função do tamanho inicial, N(0), a exemplo de N(1). Assim, após dois períodos de tempo (t = 2), temos N(2) = N(0)(1 + λ)(1 + λ) =.N(0)(1 + λ)2. Após três períodos, N(3) = N(2)(1 + λ) = N(0)(1 + λ)2(1 + λ) =.N(0)(1 + λ)3. Poderíamos prosseguir, mas já deve estar claro que a equação geral é N(t) = N(0)(1 + λ)t.

***

28 março 2020

Um cavalo de raça


George Stubbs (1724-1806). Whistlejacket. 1762.

Fonte da foto: Wikipedia.

25 março 2020

Corpos, gentes, epidemias e... dívidas



1. Os coelhos de Fibonacci.

Em 1202, o comerciante e matemático italiano Fibonacci [1], publicou uma obra que se tornaria um marco na história da matemática, o Liber abaci (Livro do ábaco ou L. do cálculo).

Uma das passagens mais famosas do livro – a edição que chegou até nós é a 2ª, de 1228 – faz alusão a um problema biológico (livremente adaptado) [2]:

Um casal de coelhos é colocado dentro de um cercado. Eles levam um mês para atingir a maturidade sexual. A partir de então, o casal gera um casal de descendentes ao final de cada mês. Começando com um único casal, quantos casais estarão presentes no cercado após alguns meses – digamos um, dois ou três anos?

Observe que a história começa com um único casal. E que o casal inicial – bem como todos os casais futuros – se reproduz de modo indefinido e ininterrupto.

Pois bem.

Ao final do primeiro mês, o jovem casal atinge a maturidade. Mais um mês e eles dão origem à primeira prole. São agora dois casais. Transcorrido o terceiro mês, o casal inicial gera um segundo casal de filhotes, enquanto a primeira prole atinge a maturidade. Ao final do quarto mês, o casal inicial gera sua terceira prole; a segunda prole atinge a maturidade e a primeira prole gera seu primeiro casal de filhotes (netos do primeiro casal). Temos agora cinco casais: os pais, os filhos (três casais) e os netos.

E a multiplicação assim prossegue. Indefinida e ininterruptamente – ao menos em teoria.

Considerando o total de casais (adultos e jovens) presentes no início de cada mês, teríamos a seguinte sequência [3]:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

Trata-se de uma sequência numérica. Cujos termos podem ser representados do seguinte modo:

a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 5, a6 = 8, a7 = 13...,

sendo an o número de casais presentes no início do n-ésimo mês.

Olhe com calma e observe que há uma lógica por trás da sequência – cada termo, a partir do segundo, é a soma dos dois termos imediatamente anteriores. Essa relação é capturada pela fórmula

an + 1 = an + an – 1,

onde n = 2, 3, 4, 5 etc. Sequências numéricas que obedecem à fórmula acima são referidas como sequências de Fibonacci [4].

*

FIGURA. A figura que acompanha este artigo ilustra o que se passa com os coelhos de Fibonacci. Começando com um único e jovem casal, obtemos a sequência a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 5, a6 = 8..., sendo an o número de casais presentes no início do n-ésimo mês. (Cada esfera representa um casal; os números à esquerda indicam a geração correspondente, a começar pelo casal inicial – geração 0.)

*

Fibonacci talvez tenha sido o primeiro ocidental a modelar o crescimento numérico de populações. Ou, em termos ainda mais amplos, o primeiro ocidental a modelar um fenômeno biológico universal: a propensão a perdurar por meio de algum processo multiplicativo.

Neste artigo (e em artigos futuros), nós examinaremos três situações que envolvem multiplicação: o crescimento do corpo de organismos multicelulares, o crescimento numérico de populações e a disseminação de epidemias. Vamos examinar também um exemplo não biológico, o crescimento das dívidas.

2. O crescimento do corpo.

Assim como todo organismo vivo descende de um organismo preexistente, toda e qualquer célula deriva de alguma célula preexistente.

A divisão celular – processo multiplicativo por meio do qual uma célula-mãe dá origem a duas ou mais células-filhas – atende a dois propósitos: crescimento e reprodução.

Entre os eucariotos (como é o nosso caso), as células podem se dividir por mitose ou por meiose [5].

Na mitose, a célula-mãe duplica o material genético (cromossomos, armazenados no núcleo) e, em seguida, o reparte equitativamente entre as duas células-filhas. Estas herdam cópias inalteradas do genoma parental – exceto quando ocorre alguma mutação (leia-se: alteração na sequência de bases da molécula de ADN) [6]. Uma repartição equilibrada do conteúdo celular é de vital importância, notadamente no caso dos cromossomos [7].

Na meiose, a célula-mãe também inicia o processo duplicando o seu material genético. Desta vez, no entanto, o material duplicado será repartido entre quatro células-filhas, cada uma herdando metade dos cromossomos parentais. Durante a meiose, os cromossomos homólogos se aproximam, formam pares e trocam pedaços entre si. Temos assim um processo de recombinação genética, em decorrência do qual cada uma das quatro células-filhas herdará uma combinação exclusiva dos genomas parentais [8].

2.1. Ciclos de vida.

O ciclo de vida dos organismos multicelulares abriga diferentes etapas de desenvolvimento. Entre os animais, dois padrões de desenvolvimento costumam ser reconhecidos, o indireto e o direto.

No desenvolvimento indireto, o ciclo começa com a formação do zigoto (ou célula-ovo), resultante da união de dois gametas (espermatozoide e óvulo, no caso dos animais). O zigoto se desenvolve em embrião (tipicamente dentro de um ovo); o qual dará origem a uma larva (cuja aparência e hábitos são muito diferentes dos do adulto); a larva cresce, passa por uma metamorfose e então se desenvolve em adulto. Este último estágio se caracteriza pela maturidade reprodutiva.

No desenvolvimento direto, a nova geração também começa com a formação do zigoto e o desenvolvimento de um embrião. Aqui, no entanto, não há um estágio larval. Os embriões dão origem a indivíduos jovens que gradativamente se convertem em adultos. Jovens e adultos costumam ser parecidos – descontando, claro, a diferença de tamanho. É o caso dos seres humanos.

Os ciclos de vida que se caracterizam por mudanças notáveis na aparência e nos hábitos de vida dos organismos são comumente referidos como ciclos de vida complexos. Os artrópodes (insetos, crustáceos, aracnídeos etc.) constituem um grupo zoológico conhecido pela variedade de ciclos de vida complexos que exibem.

No que segue, vamos examinar alguns aspectos do ciclo de vida de um inseto. Além de exemplificar ideias e conceitos referidos antes, a maior preocupação aqui é de natureza metodológica.

2.2. O crescimento larval.

Mais de 60% de todas as espécies conhecidas são insetos. E mais de 90% das espécies de insetos passam por uma metamorfose completa durante suas vidas. Esses insetos são chamados de holometábolos. Os exemplos incluem justamente as ordens mais especiosas da classe – Coleoptera (besouros), Lepidoptera (mariposas e mariposas), Hymenoptera (vespas, abelhas, formigas) e Diptera (moscas, mosquitos, pernilongos).

Vejamos o caso de borboletas e mariposas. O ciclo de vida desses insetos envolve quatro estágios: ovo, larva (lagarta), pupa e adulto. Em muitos casos, o estágio adulto demora apenas uns poucos dias, enquanto o estágio larval chega a ocupar mais de ¾ do tempo de vida.

O estágio larval se notabiliza por ser um estágio ativo, durante o qual o inseto se alimenta e cresce rapidamente. Ocorre que o corpo das larvas é revestido por uma cutícula dura e impermeável. Qualquer aumento mais expressivo no tamanho exige que ela ‘troque de pele’ – o exoesqueleto anterior é perdido e, em seu lugar, é secretado um novo.

Perder a cutícula é um processo habitualmente referido como muda. A muda tem início com a separação da cutícula velha das células epidérmicas subjacentes (apólise) e termina quando os restos da cutícula velha são perdidos (ecdise). Neste artigo, nós usaremos o termo estádio em alusão ao intervalo transcorrido entre duas mudas bem como à aparência do inseto durante esse intervalo.

O estágio larval das borboletas abriga normalmente cinco estádios, do primeiro (L1) ao quinto (L5). Cada estádio é sucedido por uma muda subsequente (e.g., de L1 para L2, de L2 para L3 e assim por diante), totalizando quatro mudas larvais e uma muda pupal (i.e., de L5 para pupa).

Durante o estágio larval, não costumam ocorrer mudanças significativas na forma do corpo, cada estádio sendo mais ou menos parecido com o anterior. Todavia, ocorrem mudanças notáveis no tamanho. Assim é que, entre a eclosão do ovo e o fim do quinto estádio, o peso do corpo chega a aumentar mais de mil vezes [9].

O peso do corpo de uma larva pode ser estimado por meio de medidas lineares, como a largura da cápsula cefálica ou o comprimento do corpo. Esta última, em particular, pode ser usada para avaliar a biomassa de insetos em grandes amostragens ou, mais especificamente, para estimar a taxa de crescimento das larvas, sobretudo quando não é possível ou desejável pesá-las diretamente. Este seria o caso, por exemplo, de quem está a estudar a ecologia dos imaturos em situações de campo.

O xis da questão aqui é: como investigar o crescimento sem ter de pesar as larvas?

2.3. Um estudo de caso.

Para início de conversa, é bom notar que o peso de um animal é uma grandeza tridimensional – afinal, três são as dimensões por onde a biomassa se distribui pelo corpo (comprimento x largura x altura). Mas nem sempre é necessário obter as três medidas para estimar com segurança o peso do corpo de um animal. Em muitas situações, uma já é o bastante.

No caso das lagartas, por exemplo, o peso pode ser expresso por meio de equações que têm o seguinte aspecto:

W = a x Lb,   (eq. 2.1)

onde W representa o peso, L é o comprimento, e a e b são constantes.

Pois bem.

Considere o caso de Hypothyris ninonia, uma borboleta encontrada em várias regiões brasileiras, inclusive no sudeste de Minas Gerais. Um estudo publicado em 2002 [6] revelou que a relação entre o comprimento e o peso do corpo das lagartas de Hypothyris pode ser expressa por meio da equação

W = 0,039 x L2,687.   (eq. 2.2)

onde W é o peso (em mg) e L, o comprimento (mm).

A equação (2.2) nos permite usar medidas do comprimento do corpo para estimar o peso das larvas – sem a necessidade de pesá-las diretamente! (E com uma boa margem de precisão e segurança.)

Em termos metodológicos, é uma descoberta auspiciosa. Sobretudo para quem trabalha no campo. De posse de equações assim, nós podemos investigar a dinâmica do crescimento em condições naturais – sem a necessidade de levar as larvas para o laboratório ou a balança para o campo!

*

Notas

[*] Alguns trechos deste artigo foram extraídos e adaptados do livro O que é darwinismo (2019). Para detalhes e informações sobre o livro, inclusive sobre o modo de aquisição por via postal, faça contato com o autor pelo endereço meiterer@hotmail.com. Para conhecer outros livros e artigos, ver aqui.

[1] Leonardo Pisano (c. 1170 – c. 1242), também conhecido como Leonardo de Pisa, Leonardo Fibonacci ou simplesmente Fibonacci (= Filho de Bonacci, alusão ao pai dele, Guglielmo dei Bonacci).

[2] O livro é dividido em 15 capítulos; o caso dos coelhos está no capítulo 12. Em 2002, o Liber abaci ganhou uma primeira edição impressa em inglês. Trata-se da tradução de uma compilação publicada na Itália, em 1857. Não sei dizer se a obra já teve uma versão em português, mas suspeito que não.

[3] Ao final do primeiro ano, serão 233 casais; ao final do segundo, 75.025; e, ao final do terceiro, 24.157.817.

[4] Um exame apressado pode levar o leitor a concluir que o processo representado na fórmula é aditivo. Mas não é. Há embutida ali uma multiplicação.

Observe: a apresentação referida no texto,

an + 1 = an + an – 1,

equivale a (multiplicação em negrito)

an + 1 = (an – an – 1) + 2 x (an – 1).

A conclusão é simples: padrões de crescimento que podem ser descritos como uma sequência de Fibonacci são processos multiplicativos.

[5] Em eucariotos unicelulares (e.g., protozoários e algas), a propagação se dá por mitose (reprodução assexuada) ou meiose (r. sexuada). Em procariotos, a divisão é uma fissão binária: cada célula cresce até dobrar de tamanho, quando então se forma um septo que a divide em duas.

[6] Para detalhes, ver Costa, FAPL. 2019. O que é darwinismo. Viçosa, Edição do autor.

[7] Cromossomos são como as peças de um quebra-cabeça; se faltam ou sobram peças, o conjunto pode falhar. Assim é que um a mais ou um a menos já resulta nas chamadas síndromes cromossômicas.

[8] Células humanas têm 23 pares de cromossomos homólogos; em cada par, um cromossomo é de origem paterna e o outro, de origem materna.

[9] Cabe aqui registrar o papel de controle desempenhado pelo comprimento do corpo. O início das mudas larvais e, sobretudo, a passagem para o estágio de pupa dependem do comprimento da larva. Uma larva L5 que esteja abaixo do comprimento mínimo (cujo valor exato, claro, varia com a espécie) não se converte em pupa. A lagarta precisa crescer mais e, para tanto, entra em um (ou mais) estádio larval extra (L6 etc.). Atingido o comprimento mínimo, ela então consegue empupar.

***

23 março 2020

Humanos podem controlar seus números?

Charles Galton Darwin

Se me permitem dizer assim, pela invenção da prevenção da gravidez a espécie Homo sapiens descobriu que pode tornar-se nova variedade – Homo contracipiens  – e [muitos] aproveitam-se disso para produzir uma fração muito reduzida da próxima geração. Descobrimos como enganar a natureza. Parece provável, entretanto, que a natureza não pode ser enganada a prazo muito longo, e é fácil ver qual a vingança que poderá tomar. Algumas pessoas desejam ter filhos antes de estes serem concebidos, embora este desejo, para a maioria delas, não tenha a forte compulsão dos dois instintos. Haverá uma tendência para tais pessoas terem mais filhos do que as demais, e estes filhos herdarão o desejo aumentado e contribuirão com proporção maior ainda da população. O desejo direto de ter filhos, portanto, tem probabilidade de tornar-se mais forte em maior número de pessoas da raça e, por fim, pode atingir a qualidade de um instinto tão forte quanto os dois outros. Pode ser que leve centenas de gerações para o instinto procriador desenvolver-se desta maneira, mas, se se desenvolver, a natureza terá tido sua vingança e a variedade Homo contracipiens tornar-se-á extinta e será substituída pela variedade Homo progenitivus.

Fonte: Hardin, G., org. 1967. População, evolução & controle da natalidade. SP, Nacional & Edusp. Excerto de livro publicado em 1960.

21 março 2020

Malthus e a pandemia: colocando alguns pingos nos is


A propósito do artigo “Malthus e Vallance vão aplaudir do túmulo [sic] o Premier britânico”, de Rogério Maestri, publicado no Jornal GGN, em 19/3.

Não sei se entendi direito o que o autor está a criticar e a defender. Em todo caso, devo dizer que estranhei o que penso ter entendido e, por conta disso, deixo aqui algumas ponderações.

Em primeiro lugar, cabe registrar que Patrick [John Thompson] Vallance (nascido em 1960) está vivo. Ele é médico e conselheiro científico do primeiro-ministro britânico Boris Johnson.

Mas vamos ao xis da questão. O que de fato me chamou a atenção foram os comentários meio destrambelhados. Tanto aqueles dirigidos ao clérigo e estudioso inglês Thomas Robert Malthus (1766-1834) como os que foram feitos a respeito da postura do governo britânico diante da pandemia em curso [1]. Neste último caso, eu diria mesmo que os comentários são perigosamente imprecisos. Vejamos.

Pesadelo malthusiano

É fato que a primeira edição do livro Um ensaio sobre o princípio da população (1798) foi publicada anonimamente [2]. Mas a prática não era exatamente incomum, sobretudo quando o conteúdo pudesse ser visto como herético [3].

Como o leitor talvez já saiba, a análise demográfica ali contida foi uma inspiração decisiva para Charles Darwin (1809-1882) e Alfred Russel Wallace (1823-1913), os inventores da moderna teoria evolutiva [4].

Segundo Malthus, a população de um país tende a crescer mais rapidamente do que a base de recursos da qual ela se alimenta. Tal descompasso implicaria em fome, miséria e conflitos, e ajudaria a explicar a sucessão de surtos que caracterizam a história humana: períodos de crescimento populacional são sucedidos por episódios durante os quais algum surto de mortalidade elevada ceifa a vida de uma parcela expressiva da população. A duração e a intensidade dessas crises seriam proporcionais ao descompasso entre o tamanho da população e a base de recursos.

Embora não concordassem com todos os pontos de vista contidos na obra, Darwin e Wallace perceberam que a análise malthusiana poderia ser estendida e aplicada ao mundo natural [5]. Afinal, a multiplicação é um fenômeno universal.

Ocorre também que nenhuma multiplicação prossegue indefinidamente. Cedo ou tarde, o crescimento de qualquer população (animal, vegetal etc.) deve ser inibido por forças restritivas. O aparente equilíbrio da natureza – a estabilidade numérica das populações – ocultaria assim um entrechoque entre duas grandes forças: a produção de muitos novos indivíduos e a destruição de quase todos eles. O que varia são as fontes de destruição (e.g., escassez alimentar, inimigos naturais etc.).

E não seria mais ou menos esse o tipo de pesadelo que estamos a viver [6]?

O vírus que parou o mundo

O novo coronavírus (SARS-CoV-2) que emergiu em Wuhan, no final de 2019, rapidamente se espalhou por todas as províncias da China. Em 1/3/2020, o vírus já podia ser encontrado em outros 58 países. Há muitas incertezas envolvendo a virulência e a transmissibilidade do patógeno, e isso atrapalha os esforços de combate à pandemia [7].

Na luta contra o novo coronavírus, alguns países logo adotaram as medidas sugeridas pela OMS (testar suspeitos e reconstituir os contatos de indivíduos infectados), combinadas com medidas sociais de natureza restritiva (e.g., fechar espaços públicos, cancelar eventos e manter suspeitos em quarentena). Tudo isso visa promover o distanciamento social. (O que, é bom que se diga, não é nada fácil em se tratando de seres humanos. Afinal, nós somos animais essencialmente sociais.)

Inicialmente, o Reino Unido decidiu adotar uma postura diferente. Por um lado, o governo não tentaria rastrear os contatos dos indivíduos suspeitos. E os testes só seriam feitos em quem estivesse hospitalizado. O governo evitaria também adotar medidas sociais de natureza restritiva. A preocupação maior seria proteger os mais vulneráveis. As faixas etárias mais jovens, a respeito das quais os dados chineses sugerem que são também as faixas mais resistentes, estariam mais expostas. Mas tenderiam naturalmente a desenvolver imunidade contra o vírus, o que supostamente poderia representar um freio na disseminação doméstica da epidemia. Trata-se de um fenômeno coletivo comumente referido pelo rótulo de imunização de rebanho (“herd immunity”, em inglês) [8].

Segundo Vallance, para que o processo funcione e dê certo, cerca de 60% da população britânica precisariam contrair a Covid-19. A opinião pública britânica não gostou da brincadeira [9]. O primeiro-ministro foi alvo de chacotas, mas também de críticas duras, a maioria absolutamente pertinente. Basta dizer que a imunização de rebanho só costuma ser levada em conta quando se promovem campanhas prévias de vacinação, como as que são rotineiramente feitas no Brasil [10].

O governo se rendeu às críticas e voltou atrás. E já anunciou que o Reino Unido passará a fazer testes em massa e a rastrear os contatos dos suspeitos. Assim como adotará as medidas sociais restritivas que outros países já adotaram. Como em outros países, o objetivo agora seria reduzir ao máximo o contato social, ao menos até que a epidemia dê mostras claras de que está a perder força. (O que, aliás, já estaria a ocorrer na China.)

*

Notas

[*] Para detalhes e informações sobre o livro O que é darwinismo (2019), inclusive sobre o modo de aquisição por via postal, faça contato com o autor pelo endereço meiterer@hotmail.com. Para conhecer outros artigos e livros, ver aqui.

[1] Entre os nomes defenestrados por Maestri em seu artigo, constam outros dois autores igualmente importantes, David Ricardo (1772-1823) e Francis Galton (1822-1911).

[2] Uma 2ª edição, bem modificada e já com o nome do autor, apareceria em 1803. Outras quatro edições seriam publicadas, em 1806, 1807, 1817 e 1826.

[3] Outro exemplo. Em outubro de 1844, Londres foi sacudida por uma grande novidade: o livro Vestiges of the natural history of creation (J Churchill, 1844). Foi um sucesso e tanto, edição atrás de edição. O autor era o geólogo e editor escocês Robert Chambers (1802-1871); sua identidade, no entanto, só seria revelada postumamente, na 12ª edição (1884). Para comentários adicionais, ver Costa (2019).

[4] Sobre a vida e obra dos dois naturalistas britânicos, ver Costa (2019).

[5] Para um panorama geral a respeito da diversidade de pontos de vista sobre o crescimento populacional ao longo da história, ver Hardin (1967).

[6] Sem contar, claro, com um agravante político: quantas empresas, governos e governantes estão mais preocupados com os mercados do que com as sociedades humanas? Não me alinho entre os que acham que a Terra está superpovoada, assim como não me alinho entre os que acham que todo e qualquer problema de origem antrópica tem solução.

[7] Informações e análises novas estão a aparecer todos os dias. Ver, por exemplo, Li et al. (2020).

[8] Quando a maioria dos integrantes de uma população (digamos, 95%) é imune a um patógeno, mesmo aqueles poucos que não o são ainda assim estão protegidos. O que se passa é que em uma população assim os patógenos têm pouca ou nenhuma chance de prosperar.

[9] Ver matérias ‘The U.K.’s coronavirus ‘herd immunity’ debacle’, de Ed Yong, publicada no The Atlantic, em 16/3; e ‘After the big pub panic, Boris Johnson puts his money where his mouth is’, de Michael Deacon, publicada no The Telegraph, em 17/3.

[10] Cabe ressaltar que é a imunização de rebanho que está a proteger os filhos de pais que decidem não vacinar seus filhos. O problema é que se o número de pais a abraçar essa medida – digamos, excêntrica – superar certo percentual, a proteção coletiva desaparece e os patógenos voltam a prosperar na população.

*

Referências citadas

+ Costa, FAPL. 2019. O que é darwinismo. Viçosa, Edição do autor.
+ Hardin, G. 1967 [1964]. População, evolução & controle da natalidade. SP, Nacional & Edusp.
+ Li, R & mais 6. 2020. Substantial undocumented infection facilitates the rapid dissemination of novel coronavirus (SARS-CoV2). Science 10.1126.

***

eXTReMe Tracker