Números reais e desigualdades

Louis Leithold

O sistema numérico real consiste em um conjunto de elementos chamados de números reais e duas operações denominadas adição e multiplicação, denotadas pelos símbolos + e ∙ , respectivamente. Se a e b forem elementos do conjunto R, a + b denotará a soma de a e b e a ∙ b (ou ab) denotara o seu produto. A operação de subtração é definida pela igualdade

a – b = a + (– b)

onde – b denota o negativo de b, tal que b + (– b) = 0. A operação de divisão é definida pela igualdade

a / b = a ∙ b^–1   b ≠ 0

onde b^–1 denota o recíproco de b, tal que b ∙ b^–1 = 1.

O sistema numérico real pode ser inteiramente descrito por um conjunto de axiomas (a palavra axioma é usada para indicar uma afirmação formal considerada verdadeira, dispensando provas). Com esses axiomas podemos deduzir as propriedades dos números reais das quais seguem as operações algébricas de adição, subtração, multiplicação e divisão, bem como os conceitos algébricos de resolução de equações, fatoração e assim por diante.

As propriedades que podem ser obtidas como conseqüências lógicas dos axiomas são os teoremas. No enunciado da maioria dos teoremas existem duas partes: a parte do ‘se’, chamada de hipótese, e a parte do ‘então’, chamada de conclusão. A argumentação que verifica a veracidade de um teorema é uma demonstração (ou prova), a qual consiste em mostrar que a conclusão é conseqüência de se admitir a hipótese como verdadeira.

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Fonte: Leithold, L. 1994 [1990]. O cálculo com geometria analítica, 3ª edição. SP, Harbra.